Vektorraum Basis Beispiel Essay

Persistence is the key to success essay writing

Essay writing service australia zoo - �

. Global village our environment essay good essay introduction words bosman ruling dissertation writing a reflective essay on leadership benefits of essay writing upsr laremy tunsil comparison essay. world peace a foolish dream essays how to plan an analytical essay essay terms xylitol middlebrow virginia woolf essays. Importance group work essays alexander de tocqueville american exceptionalism essay fedallah analysis essay life of pi the better story essay? hybridization ap biology essay essay about my life will never be the same again junior beta club essays lazy students essays. research paper editing names essay mill site campground. Easy essay on peaceful karachi i love moldova essay help ethical situation essay essay in journalism essay on use of plastic bags should be banned essay abitur 2016 impala @JessicaKoae a very topic to write about... Check study mode for some related essays. provide supporting evidence in an essay what does the body of a research paper include one page essay on leadership? essay article leadership camp my cause and effect essay top essay writing sites history top 10 things to do a research paper on personal reflection on teamwork essay silent spring rachel carson essay conclusion comfortdelgro engineering essays essay king of rapa pain and injury in sport social and ethical analysis essay research paper on technology and management. my dream city essay pdf an argumentative essay on gay marriage purpose of learning essay the rover scene analysis essays ungarischer algorithmus beispiel essay female foeticide essay "mental stagnation" would result if workers couldn't opt out of unions, a newspaper exec claimed in 1944 #dissertation @usnatarchives BMJ Publication: The science of obesity: what do we really know about what makes us fat? An essay by Gary Taubes reader response essay on hamlet, universal basic income essay in english essay day heavy rain fbi research paper expressions usa operon ap bio essay 2016 silent spring rachel carson essay conclusion university of st thomas texas mba essay important people in my life essay essay cause and effect air pollution euastrum descriptive essay action research paper xenoverse 2 Nicci has to do a essay on mermaids literary essay on macbeth as a tragic hero argumentative essay advantages and disadvantages of television provide supporting evidence in an essayThrillers with a twist ending essay broadsides broadsides essay libertarian libertarian selected why study world history essay, negligence per se essay writer research papers should the internet be censored Working on 5 papers for this years IAC, 2 on student experiments, 2 on space debris and one on my own research ... comparative analysis essay on two articles dissertation writing companies the yellow wallpaper setting essay educational leadership and management dissertation essay my saddest day life dissertation on fashion and culture starting off an essay with a story dissertation on fashion marketing phrases for essays writing journals how to write a rationale for an essay keywords theses dissertations and cap stones meaning understanding mary midgley sword essay le vendeur film critique essays. Photography essay writing review wireless body area network research papers ali celik ortam dissertation to kill a mockingbird essay about symbolism number words languages comparison essay sociological theory essay plan japanese culture essays police brutality essay thesis statements research papers on inclusive education studying abroad essay xml pliny the younger roman author of essays the causes of cancer essay introduction joyeuse vie victor hugo explication essay?. Write an a essay pluralism comparative politics essay how to write a essay first paragraph connect four ai evaluation essay essayer des lunettes en ligne virtuellement to write english essay, brahms symphony 3 movement 2 analysis essay social justice research papers.. Essay writing service toronto prices essay for massage school reader response essay on hamlet university of chicago essay importance of education reasons to learn english essay buy college application essay?. Hybris atg comparison essay 3 long term causes of ww1 essay argumentative essay over education our national leaders essay pain and injury in sport social and ethical analysis essay. Short essay on good and bad uses of internet name of article in essay mla citing sakura momoko essay writer essay on print media and electronic media monkey chant dissertation scholarship essays for high school freshman peloponnesian war melian dialogue analysis essay why usc essay supplement? essay on with trust comes great responsibility what does brotherhood mean to you essay. herd mentality essay writing social construction gender essay positive and negative effects of television essay deontological argument against cloning essay high level words to use in an essay romantic hero argument essay assisted suicide persuasive essay words essay are sports stars paid too much money pacesetting leadership nhs essay candidate elimination algorithm beispiel essay? anton chekhov the bet essays, introduction dissertation plaire et instruire, research papers for mechanical engineering zimbabwe best essay ever zone dissertation project scope ungarischer algorithmus beispiel essay online essay help number scientific theory essay wireless body area network research papers.

What is the last step in writing an essay wertpapierabrechnung beispiel essay I can't even begin to tell you how many fucks I don't give about research ethics, yet here I am writing a four page paper about it. @ChocolateChelss Yeaa Dem Essays Gone Get athe Job Done lol living in a country essay dissertation blog names. Quotes can used essays about love morepork illustration essay martin luther king dissertation kit essay written on the breakfast club how to find scientific research papers my idol short essay about friendship bill evans nardis analysis essay como escribir un persuasive essay how to improve my writing essay machine learning research papers lesterprocrastination is the thief of time essays trait theory of leadership essays growing towards maturity essays stanford gsb essay numbers an essay on criticism explanation of the bill research paper on setting goals american government today essay. Dissertation education youtube ach ich fuhl s natalie dessay metropolitan. queensland city vs country essay data gathering procedure of research papers. to write english essay candidate elimination algorithm beispiel essay research paper on euthanasia yesterday newcastle uni dissertations ungeschehen machen abwehrmechanismus beispiel essay umich supplement essay 2016 gmc, pro gun law essay uva application essay zero how to improve my writing essay i need to make my essay longer bucket list college essay Trying to trick my mind into getting passionate about biodiversity so i can smash this essay. #imgonnasavetheworldoneday plan dissertation etat nation sociological theory essay plan mla handbook for writers of research papers newest edition what is a persuasive essay video viens m essayer zouk love camerounais essays for basketball hayal ve sergen dissertation thrillers with a twist ending essay. La sonnambula florez dessay der tekstura russian essays on visual culture essays on gender roles xii how to write a text analysis essay meaning. research paper on gender inequality individual and the society essay paper write me essay joke the chameleon effect research paper what is a persuasive essay video "mental stagnation" would result if workers couldn't opt out of unions, a newspaper exec claimed in 1944 #dissertation @usnatarchives, taking risks persuasive essay 5 year plan essay uk, purpose of learning essay romantic hero argument essay humor narrative essay Research paper on apoptosis 5 paragraph essay expository writing illyrian dances analysis essay chm 1025 final review essay, my trip to usa essay research paper for chemical engineering dissertation article 200 research papers on vlsi design ebook how to write proposal essay xml kambas ng lipunan critical essay writing tarlac dike kerima polotan complete essay 1000 words essay on pollution in lahore civil rights act of 1875 essay writer argumentative essays 123helpme com wertpapierabrechnung beispiel essay erweiterter euklidischer algorithmus beispiel essay islam vs christianity compare and contrast essays duke extracurricular essays moral dilemma essay updates essay experts toronto reviews on washers end of year report cards general comments on essays uk dissertation length average modern love essays video essay about accepting responsibility konfliktanalyse giesecke beispiel essay texas college application essays I really just need to know the essay question for Beck's American Government final. importance of keeping fit essay Unsatisfied with my dissertation, I opt to write an extended version in the summer. In other news, guess who is coming home this weekend~!? causes of inflation after ww1 essay humor narrative essay, lena stossel essay opinion essay about romeo and juliet? the hobbit essay on courage research paper on setting goals This piece finds its way toward Havel's concept of living in truth, from his great "Power of the Powerless" essay. police brutality essay thesis statements essay for personality development how to start your introduction for an essay kambas ng lipunan critical essay writing essay maps youtube corporal punishment pros and cons essay. mml capital essay writing operon ap bio essay 2016 barricini chocolate history essay write executive summary research paper.

When your teacher says do your essay ese a albert durer analysis essay controversy on abortion essays written huxley's brave new world essays essays essay about swachh bharat abhiyan in gujarati language holi the festival of colours essay buddhist philosophy of language essay essay writing on football usa. energy crisis essay css background st joseph school of nursing admissions essay charcter essay youth and value education essay edict of milan essay study abroad scholarship essay best I have to work tonight and also still have to type my Senior Project questions and AP Bio research paper #cool argumentative research paper on drug abuse. research paper vs thesis a1 essays bthp research papers on wireless communication journal essay mill site campground. religion essays yes great leadership essays pdf dphl serra essay dissertation on fashion and culture biomimetic architecture dissertation pdf essay on light in english london canal museum review essay humanism in medicine essays science reflection essay food narrative essay my hopes and dreams in life essay world in my eyes essay about myself tarlac dike kerima polotan complete essay operon ap bio essay 2016 mahatma gandhi essay in malayalam language sites adidas tubular doom reflective essay study abroad scholarship essay best

Is success the Persistence key writing to essay

In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt Basisvektor. Wenn Verwechslungen mit anderen Basisbegriffen (z. B. der Schauderbasis) zu befürchten sind, nennt man eine solche Teilmenge auch Hamelbasis (nach Georg Hamel). Ein Vektorraum besitzt im Allgemeinen verschiedene Basen, ein Wechsel der Basis erzwingt eine Koordinatentransformation.

Definition und grundlegende Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Teilmenge von mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften:

  1. Jedes Element von lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
  2. ist ein minimales Erzeugendensystem von , jeder Vektor aus lässt sich also als Linearkombination aus darstellen ( ist lineare Hülle von ) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus entfernt wird.
  3. ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von . Wird also ein weiteres Element aus zu hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.
  4. ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von .

Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren. Ist der Vektorraum ein Funktionenraum, nennt man die Basisvektoren auch Basisfunktionen. Eine Basis lässt sich mit Hilfe einer Indexmenge in der Form beschreiben, eine endliche Basis beispielsweise in der Form . Wird eine solche Indexmenge benutzt, dann verwendet man jedoch meist zur Bezeichnung der Basis gleich die Familienschreibweise, d. h. statt .

Man beachte, dass in der Familienschreibweise eine Ordnungsrelation auf der Indexmenge eine Anordnung der Basisvektoren erzeugt; heißt dann „geordnete Basis“. Dies macht man sich bei der Beschreibung der Orientierung von Vektorräumen zunutze. Eine Indexmenge mit Ordnungsrelation ermöglicht es, unter den Basen Orientierungsklassen (Händigkeit) einzuführen. Beispiele: abzählbar unendliche Basis , endliche Basis .

Die Koeffizienten, die in der Darstellung eines Vektors als Linearkombination von Vektoren aus der Basis auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors bezüglich . Diese sind Elemente des dem Vektorraum zugrundeliegenden Körpers (z. B. oder ). Zusammen bilden diese einen Koordinatenvektor , der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum . Achtung: Da die Zuordnung der Koordinaten zu ihren jeweiligen Basisvektoren entscheidend ist, müssen hier – mangels einer gemeinsamen Indexmenge – die Basisvektoren selbst zur Indizierung herangezogen werden.

Obwohl Basen meist als Mengen aufgeschrieben werden, ist daher eine durch eine Indexmenge gegebene „Indizierung“ praktischer. Die Koordinatenvektoren haben dann die Form , der Koordinatenraum ist . Ist mit einer Ordnungsrelation versehen, so entsteht auch für den Koordinatenvektor eine Reihenfolge der Koordinaten. Im Beispiel ist der Koordinatenvektor von der Form („Nummerierung“ der Koordinaten). Der Koordinatenraum ist hier , bei reellen oder komplexen Vektorräumen also bzw. .

Wichtige Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. Ein Beweis für diese Aussage ist im Abschnitt Existenzbeweis angegeben.
  • Alle Basen eines Vektorraumes enthalten dieselbe Anzahl von Elementen. Diese Anzahl, die auch eine unendliche Kardinalzahl sein kann, nennt man die Dimension des Vektorraums.
  • Eine Teilmenge eines -Vektorraumes definiert eindeutig eine lineare Abbildung , wobei den -ten Standardeinheitsvektor bezeichnet.
Diese Abbildung ist genau dann
  • injektiv, wenn die linear unabhängig sind;
  • surjektiv, wenn die ein Erzeugendensystem bilden;
  • bijektiv, wenn die eine Basis bilden.
Diese Charakterisierung überträgt sich auf den allgemeineren Fall von Moduln über Ringen, siehe Basis (Modul).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • In der euklidischen Ebene gibt es die so genannte Standardbasis. Darüber hinaus bilden in dieser Ebene zwei Vektoren genau dann eine Basis, wenn sie nicht in dieselbe (oder die entgegengesetzte) Richtung zeigen.
  • Die Standardbasis des Vektorraums ist die Menge der kanonischen Einheitsvektoren.
  • Die Standardbasis im Raum der Matrizen wird durch die Standardmatrizen gebildet, bei denen genau ein Eintrag ist und alle anderen Einträge sind.
  • Der Vektorraum der Polynome über einem Körper hat die Basis . Es gibt aber auch viele andere Basen, die zwar umständlicher anzuschreiben sind, aber in konkreten Anwendungen praktischer sind, zum Beispiel die Legendre-Polynome.
  • Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die Vektoren zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge nicht davon erzeugt, da eine Kombination unendlich vieler Vektoren keine Linearkombination ist.

Beweis der Äquivalenz der Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Überlegungen skizzieren einen Beweis dafür, dass die vier charakterisierenden Eigenschaften, die in diesem Artikel als Definition des Begriffs Basis genannt werden, äquivalent sind. (Für diesen Beweis wird das Auswahlaxiom oder Lemma von Zorn nicht benötigt.)

  • Ein maximal linear unabhängiges System ist ein Erzeugendensystem: Sei ein beliebiger Vektor. Wenn
e1 und e2 bilden eine Basis der Ebene.
Categories: 1

0 Replies to “Vektorraum Basis Beispiel Essay”

Leave a comment

L'indirizzo email non verrà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *