Vektorraum Basis Beispiel Essay

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In der linearen Algebra ist eine Basis eine Teilmenge eines Vektorraumes, mit deren Hilfe sich jeder Vektor des Raumes eindeutig als endliche Linearkombination darstellen lässt. Die Koeffizienten dieser Linearkombination heißen die Koordinaten des Vektors bezüglich dieser Basis. Ein Element der Basis heißt Basisvektor. Wenn Verwechslungen mit anderen Basisbegriffen (z. B. der Schauderbasis) zu befürchten sind, nennt man eine solche Teilmenge auch Hamelbasis (nach Georg Hamel). Ein Vektorraum besitzt im Allgemeinen verschiedene Basen, ein Wechsel der Basis erzwingt eine Koordinatentransformation.

Definition und grundlegende Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Basis eines Vektorraums ist eine Teilmenge von mit folgenden gleichwertigen Eigenschaften:

  1. Jedes Element von lässt sich als Linearkombination von Vektoren aus darstellen und diese Darstellung ist eindeutig.
  2. ist ein minimales Erzeugendensystem von , jeder Vektor aus lässt sich also als Linearkombination aus darstellen ( ist lineare Hülle von ) und diese Eigenschaft gilt nicht mehr, wenn ein Element aus entfernt wird.
  3. ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von . Wird also ein weiteres Element aus zu hinzugefügt, ist die neue Menge nicht mehr linear unabhängig.
  4. ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von .

Die Elemente einer Basis heißen Basisvektoren. Ist der Vektorraum ein Funktionenraum, nennt man die Basisvektoren auch Basisfunktionen. Eine Basis lässt sich mit Hilfe einer Indexmenge in der Form beschreiben, eine endliche Basis beispielsweise in der Form . Wird eine solche Indexmenge benutzt, dann verwendet man jedoch meist zur Bezeichnung der Basis gleich die Familienschreibweise, d. h. statt .

Man beachte, dass in der Familienschreibweise eine Ordnungsrelation auf der Indexmenge eine Anordnung der Basisvektoren erzeugt; heißt dann „geordnete Basis“. Dies macht man sich bei der Beschreibung der Orientierung von Vektorräumen zunutze. Eine Indexmenge mit Ordnungsrelation ermöglicht es, unter den Basen Orientierungsklassen (Händigkeit) einzuführen. Beispiele: abzählbar unendliche Basis , endliche Basis .

Die Koeffizienten, die in der Darstellung eines Vektors als Linearkombination von Vektoren aus der Basis auftreten, nennt man die Koordinaten des Vektors bezüglich . Diese sind Elemente des dem Vektorraum zugrundeliegenden Körpers (z. B. oder ). Zusammen bilden diese einen Koordinatenvektor , der allerdings in einem anderen Vektorraum liegt, dem Koordinatenraum . Achtung: Da die Zuordnung der Koordinaten zu ihren jeweiligen Basisvektoren entscheidend ist, müssen hier – mangels einer gemeinsamen Indexmenge – die Basisvektoren selbst zur Indizierung herangezogen werden.

Obwohl Basen meist als Mengen aufgeschrieben werden, ist daher eine durch eine Indexmenge gegebene „Indizierung“ praktischer. Die Koordinatenvektoren haben dann die Form , der Koordinatenraum ist . Ist mit einer Ordnungsrelation versehen, so entsteht auch für den Koordinatenvektor eine Reihenfolge der Koordinaten. Im Beispiel ist der Koordinatenvektor von der Form („Nummerierung“ der Koordinaten). Der Koordinatenraum ist hier , bei reellen oder komplexen Vektorräumen also bzw. .

Wichtige Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Vektorraum besitzt eine Basis. Ein Beweis für diese Aussage ist im Abschnitt Existenzbeweis angegeben.
  • Alle Basen eines Vektorraumes enthalten dieselbe Anzahl von Elementen. Diese Anzahl, die auch eine unendliche Kardinalzahl sein kann, nennt man die Dimension des Vektorraums.
  • Eine Teilmenge eines -Vektorraumes definiert eindeutig eine lineare Abbildung , wobei den -ten Standardeinheitsvektor bezeichnet.
Diese Abbildung ist genau dann
  • injektiv, wenn die linear unabhängig sind;
  • surjektiv, wenn die ein Erzeugendensystem bilden;
  • bijektiv, wenn die eine Basis bilden.
Diese Charakterisierung überträgt sich auf den allgemeineren Fall von Moduln über Ringen, siehe Basis (Modul).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • In der euklidischen Ebene gibt es die so genannte Standardbasis. Darüber hinaus bilden in dieser Ebene zwei Vektoren genau dann eine Basis, wenn sie nicht in dieselbe (oder die entgegengesetzte) Richtung zeigen.
  • Die Standardbasis des Vektorraums ist die Menge der kanonischen Einheitsvektoren.
  • Die Standardbasis im Raum der Matrizen wird durch die Standardmatrizen gebildet, bei denen genau ein Eintrag ist und alle anderen Einträge sind.
  • Der Vektorraum der Polynome über einem Körper hat die Basis . Es gibt aber auch viele andere Basen, die zwar umständlicher anzuschreiben sind, aber in konkreten Anwendungen praktischer sind, zum Beispiel die Legendre-Polynome.
  • Im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bilden die Vektoren zwar ein linear unabhängiges System, aber keine Basis, denn es wird zum Beispiel die Folge nicht davon erzeugt, da eine Kombination unendlich vieler Vektoren keine Linearkombination ist.

Beweis der Äquivalenz der Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Überlegungen skizzieren einen Beweis dafür, dass die vier charakterisierenden Eigenschaften, die in diesem Artikel als Definition des Begriffs Basis genannt werden, äquivalent sind. (Für diesen Beweis wird das Auswahlaxiom oder Lemma von Zorn nicht benötigt.)

  • Ein maximal linear unabhängiges System ist ein Erzeugendensystem: Sei ein beliebiger Vektor. Wenn
e1 und e2 bilden eine Basis der Ebene.
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